Taman Pembelajaran - Barisan dan Deret

1 Barisan Aritmatika

▼

🔍 Eksplorasi 1.1 : Pola ubin di lantai

Ayo bandingkan banyak ubin berdasarkan pola lantai yang berbeda di bawah ini!

• Pola lantai yang pertama menggunakan 8 ubin.
• Lalu pada pola ke-2 banyak ubin menjadi 12.
• Nah, pada pola ke-3 banyak ubin menjadi 16.

Pola 1 (8 Ubin)

Pola 2 (12 Ubin)

Pola 3 (16 Ubin)

Ayo Berdiskusi: Jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu.

1. Berapa banyak ubin jika pola diperbesar? Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi tabel 1.1 untuk menjawab pertanyaan tersebut.

Pola	1	2	3	4	5
Banyak Ubin	8	12	16	...	...

2. Jika banyak ubin sekeliling kolam adalah 28, maka pola keberapakah itu? Bagaimana kalian mengetahuinya? Jelaskan jawabanmu.

📖 Pengertian Barisan & Barisan Aritmatika

Tabel 1.1 menampilkan pola bilangan 8, 12, 16, 20, ..... Jika diamati lebih teliti, pola bilangan di atas disusun berdasarkan aturan tertentu. Pola bilangan yang demikian disebut barisan bilangan.

Terdiri dari berapa suku barisan bilangan di atas?
• Suku ke-1 dilambangkan dengan U₁ = ...
• Suku ke-2 dilambangkan dengan U₂ = ...
• Suku ke-3 dilambangkan dengan U₃ = ...
• Suku ke-n dilambangkan dengan U_n = ...

Maka dari itu, bentuk umum barisan bilangan yaitu: U₁, U₂, U₃, ...., U_n

Barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan disebut BARISAN ARITMATIKA. Beda pada barisan aritmatika dilambangkan dengan b.

Berapakah beda atau selisih antara dua suku yang berurutan?
• U₂ - U₁ = 12 - 8 = 4
• U₃ - U₂ = ... - ... = ...
• U₄ - U₃ = ... - ... = ...

b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U 4 - U 3

Jadi, b = U n - U (n-1)

Rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan aritmatika adalah:

U_n = a + (n - 1)b

Keterangan: U_n = Suku ke-n, a = Suku pertama, n = nomor suku, b = selisih/beda.

💡 Contoh Soal & Penyelesaian

Contoh 1: Diketahui suatu barisan aritmatika, suku ke-6 = 19 dan suku ke-10 = 31. Tentukan rumus suku ke-n!

Penyelesaian:
U₆ = a + (6 - 1)b = a + 5b = 19
U₁₀ = a + (10 - 1)b = a + 9b = 31
-------------------------------------- (-)
-4b = -12 → b = -12 / -4 → b = 3

Substitusi nilai b ke persamaan pertama:
a + 5b = 19 → a + 5(3) = 19 → a + 15 = 19 → a = 19 - 15 → a = 4

Rumus suku ke-n:
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 4 + (n - 1)3
U_n = 4 + 3n - 3
U_n = 3n + 1
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah U_n = 3n + 1

2 Barisan Geometri

▼

🔍 Eksplorasi 1.3: Melipat Kertas

Siapkan kertas berbentuk persegi panjang! Lalu lipatlah beberapa kali! Jika kertas dilipat satu kali, maka akan ada 2 bagian yang berukuran sama.

Lipatan 1 (2 Bagian)

Lipatan 2 (4 Bagian)

Ayo Berdiskusi: Jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu.

1. Berapa banyak bagian berukuran sama yang terbentuk jika kertas semakin dilipat? Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi tabel 1.2 untuk menjawab pertanyaan tersebut.

Jumlah Melipat Kertas	1 kali	2 kali	3 kali	4 kali
Banyak ukuran sama terbentuk	2 bagian	4 bagian	...	...

2. Apakah banyak bagian yang sama membentuk pola barisan?
3. Aturan apa yang ada di barisan tersebut?
4. Operasi apa yang ada di suku-suku yang berurutan?

📖 Materi Pembelajaran

Ayo amati perbandingan dua suku berurutan dari data di atas (2, 4, 8, ...)!
• U₂ / U₁ = 4 / 2 = 2
• U₃ / U₂ = ... / ... = ...
• U₄ / U₃ = ... / ... = ...

Suatu barisan dengan rasio dua suku berurutan selalu tetap atau konstan disebut BARISAN GEOMETRI. Rasio pada barisan geometri dilambangkan dengan r.

r = U 2 /U 1 = U 3 /U 2 = U 4 /U 3

Jadi, r = U n / U (n-1)

Ayo Berpikir Kritis: Berapa banyak bagian berukuran yang sama apabila kertas dilipat sebanyak 10 kali?
• Lipatan ke-1 = 2
• Lipatan ke-2 = 4 = 2 × 2 (2 dikali 2 sebanyak 1 kali) = 2 × 2¹
• Lipatan ke-3 = 8 = 2 × ... × ... (2 dikali 2 sebanyak ... kali) = 2 × 2^...
• Jadi, lipatan ke-10 = 2 dikali 2 sebanyak ... kali = 2 × 2^...

Rumus umum mencari suku ke-n barisan geometri:

U_n = a · r^n-1

💡 Contoh Soal & Penyelesaian

Soal: Dari eksplorasi pelipatan kertas di atas, carilah nilai suku ke-10 (U₁₀)!

Penyelesaian:
Diketahui Suku pertama (a) = 2, Rasio (r) = 2.
U₁₀ = a · r^10-1
U₁₀ = 2 · 2⁹
U₁₀ = 2^{1 + 9}
U₁₀ = 2¹⁰ = 1024
Jadi, banyak bagian kertas yang terbentuk pada lipatan ke-10 adalah 1.024 bagian.

3 Deret Aritmatika

▼

🔍 Eksplorasi 1.2: Jumlah uang saku Ana

Pak Andi ingin membiasakan Ana menabung dengan cara menambah uang saku sebesar Rp 2.000,00 setiap hari. Pada awalnya uang saku Ana sebesar Rp 5.000,00.

Hari 1

Rp 5.000

Hari 2

Rp 7.000

(+2.000)

Hari 3

Rp 9.000

(+2.000)

Ayo cermati jumlah uang saku Ana setiap harinya!
• Hari ke-1 = 5.000
• Hari ke-2 = 7.000 = 5.000 + 2.000 (5.000 ditambah 2.000 sebanyak 1 kali) = 5.000 + (1 × 2.000)
• Hari ke-3 = 9.000 = 5.000 + ... + ... (5.000 ditambah 2.000 sebanyak 2 kali) = 5.000 + (... × ...)
• Hari ke-4 = 11.000 = 5.000 + ... (5.000 ditambah 2.000 sebanyak 3 kali) = 5.000 + (... × ...)

Ayo Berdiskusi: Berapa banyak total seluruh akumulasi tabungan uang saku Ana pada hari ke-10?

📖 Materi Pembelajaran

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika. Total jumlah n suku pertama dilambangkan dengan S_n.

Rumus jumlah n suku pertama:

S n = n / 2 [2a + (n - 1)b]

atau

S n = n / 2 [a + U n]

💡 Contoh Soal & Penyelesaian

Soal: Dari kasus Ana di atas, hitunglah total seluruh uang saku yang diterima Ana selama 10 hari pertama!

Penyelesaian:
Diketahui a = 5.000, b = 2.000, n = 10.
S₁₀ = ¹⁰/₂ · [2(5.000) + (10 - 1)2.000]
S₁₀ = 5 · [10.000 + (9 × 2.000)]
S₁₀ = 5 · [10.000 + 18.000]
S₁₀ = 5 · [28.000] = 140.000
Jadi, total uang saku Ana selama 10 hari adalah Rp 140.000,00.

4 Deret Geometri

▼

🔍 Eksplorasi: Pertumbuhan Kelopak Bunga

Sebuah jenis bunga daisy ajaib tumbuh mengikuti pola geometri. Hari pertama mekar 3 kelopak, hari kedua menjadi 6 kelopak, hari ketiga menjadi 12 kelopak. Berapa jumlah seluruh kelopak bunga daisy yang mekar setelah 6 hari?

📖 Materi Pembelajaran

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku barisan geometri. Jumlah n suku pertama dinyatakan dengan S_n.

Rumus Jumlah Suku Deret Geometri:

S n = a(r n - 1) / (r - 1) [Untuk r > 1]

S n = a(1 - r n) / (1 - r) [Untuk r < 1]

💡 Contoh Soal & Penyelesaian

Soal: Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret geometri: 3 + 6 + 12 + ...!

Penyelesaian:
Diketahui a = 3, r = 6/3 = 2. Karena r > 1, gunakan rumus pertama.
S₆ = 3 · (2⁶ - 1) / (2 - 1)
S₆ = 3 · (64 - 1) / 1
S₆ = 3 · 63 = 189
Jadi, jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut adalah 189.

5 Deret Geometri Tak Hingga

▼

🔍 Eksplorasi: Langkah Kaki di Taman Daisy

Kamu berjalan di taman bunga daisy. Langkah pertama sejauh 1 meter, langkah kedua sejauh 1/2 meter, langkah ketiga sejauh 1/4 meter, dan terus berlanjut secara konstan hingga langkahmu tak berhingga kali. Berapakah batas total jarak yang bisa kamu tempuh?

📖 Materi Pembelajaran & Jenis Deret Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memiliki banyak suku tak terbatas (n = ∞). Berdasarkan nilai rasionya (r), deret tak hingga dibagi menjadi dua jenis:

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret konvergen artinya deret yang nilainya memusat atau menuju ke suatu nilai tertentu karena nilainya semakin mengecil. Deret ini memiliki jumlah suku yang berhingga. Syarat rasionya berada di rentang: -1 < r < 1.

Rumus deret geometri tak hingga konvergen:

S_∞ = ^a / _{(1 - r)}

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Deret divergen artinya deret yang nilainya memencar, menyebar, atau semakin membesar mendekati nilai tidak terhingga sehingga tidak dapat ditentukan jumlah pastinya. Syarat rasionya adalah: r ≤ -1 atau r ≥ 1.

Nilai jumlahnya dinotasikan dengan:

S_∞ = ± ∞

💡 Contoh Soal & Penyelesaian

Soal: Tentukan nilai jumlah tak hingga dari deret geometri konvergen berikut: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...!

Penyelesaian:
Diketahui a = 1, r = 1/2 (memenuhi syarat konvergen -1 < 1/2 < 1).
S_∞ = a / (1 - r)
S_∞ = 1 / (1 - 1/2)
S_∞ = 1 / (1/2) = 2
Jadi, jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah 2.

Modul Belajar: Barisan dan Deret